住所が変わったのですが、必ず不動産登記をしなければならないのですか。

必ずしもすぐに登記をしなければならないというものではありませんが、いつかはしないといけません。

今仮にそのままにしておいても「当該不動産を売買する」や「抵当権を設定する」などの処分をする場合には、その前提として住所の変更登記をしなくてはいけないからです。
したがって、先に登記をしておくか、後で登記をするかの違いだけで、お手続自体はしていただくこととなります。